雙up毒池抽卡指北：以五一周年池為例

轉載自TapTap用戶 浩阳

關於雙up毒池的出貨期望問題，半天看到了三四套結果，真實離譜。還不如我自己來算算。

太長不看版：

如果不挑，抽中任意一個up的平均次數是50次，吃井率不足0.1％，24抽的白嫖率為28.68％。

如果要挑W/Wendy，抽中特定一個up的平均次數是96次，吃井率是3.61％，24抽的白嫖率為1個5.50％。

如果全都要，抽中兩個up的平均次數是132次，吃井率是7.10％，24抽的白嫖率為6.66％。

（抽卡次數全部向上取整。）

健康遊戲，理智氪金。

充錢可能會虧，不氪立賺200％。

目錄

1-理論概率：多少抽能中一個up

2-數值模擬：多少抽能中一個up

3-我只想要W/Wendy要多少抽

4-我W和Wendy全都要！

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1個--理論概率：多少抽能中一個up

首先，從最簡單的情況討論起：如果我不在乎抽中W還是Wendy，來個姓VV的就彳亍，那我的抽卡次數期望是多少。

要討論這個問題，第一，得明白幾個基本原理公式：

事件相互獨立：P(AB)=P(A)*P(B)；

條件概率：P(A丨B)=P(AB)/P(B)；

子事件：P(A)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。

對於雙up毒池，“出貨”其實就可以分成“抽中六星”和“抽中的六星是當期up”兩個相互獨立的事件，只有兩個事件同時滿足才會“出貨” ，因此可以分開算兩個事件的概率然後相乘作為“出貨”概率。這一邏輯對於計算兩個up全都要的情況尤為重要。

第二，依次計算“第n次抽卡能抽中六星”（n=1,2,…,99）[1]的概率，注意“第n次抽卡”意味著前n-1次抽卡都沒有出六星。計算出的概率密度分佈如下圖所示[2]，進而算得眾所周知的出六星抽卡期望34抽（34.59）。

第三，在70%up率機制下“抽中的六星是當期up”滿足70%概率的二項分佈。又在300抽的井機制下，我們可以預期一個最非的人出大概8次六星沒中up就能吃井（300/34.59=8.67），所以我們只考慮一個人分別在第1-8次出六星的時候中up就能回答“多少抽能中一個up”的問題[3]。

在上述設定下，恰好在第m次出六星的時候中up的概率是P(m)=(1-0.7)^(m-1)*0.7（m<8）。有井機制下恰好在第8次出六星的時候中up的概率是P(m=8)=(1-0.7)^8*100%。

跟34.59的六星抽卡期望聯立可得中一個up的抽卡次數期望是

和（任意一上）=49.41[4]

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2--數值模擬：多少抽能中一個up

接下來用隨機抽樣的思路模擬出一個10w人的樣本[5]，每個人中一個up的抽卡次數頻數分佈如下圖所示。

從圖中可以看出，50抽左右中一個up的人最多，接近2.5w人，在一定程度上驗證了理論推導49.41的結果。

10w樣本總體的均值為49.35抽。

採用Bootstrap算法抽樣1k次計算的抽卡次數均值也為49.35，9% 的置信區間為【48.75, 49.94】。

然後是大家比較關心的兩個問題：

第一，多少人吃井？

10w樣本總體中僅有28人吃井（0.028%），若把抽卡次數超過270的人視為“主動吃井”的話（我尋思都抽到這兒了不會不抽剩下30連吧？ ），吃井人數為也僅為52（0.052%）。

採用Bootstrap算法的吃井率為.0276％，9% 置信區間為【0.001%, 0.054%】，主動吃井率為0.0529％，9% 置信區間為【0.017%, 0.089%】。吃井率波動相對比較大，但可以肯定的是基本不會超過0.1％。

第二，週年活動能直接白嫖24抽，那多少人能24次白嫖中一個上？

10w樣本總體中白嫖到一個up的人數為28699人（28.699%），超過四分之一的人能白嫖一個up，這倒是超乎我的預期。

採用Bootstrap算法的白嫖率為28.683％，90% 的置信區間為【27.978%, 29.389%】。

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3--我只想要W/Wendy要多少抽

接下來討論另一種情況：如果我只想要W/Wendy，不想要另一個up，更不想歪其他的六星，那我的抽卡次數期望是多少。

直觀來看，跟第一種情況相比，想要特定up的出貨率會驟減。同樣抽出六星之後，不挑的時候抽中當期up的概率是70%，而想要特定up的時候概率就折半為35%（假設兩個up概率平分）。

這裡就不再推導理論概率只做數值模擬了，第一種情況的結果也已經證明模擬和理論相當接近了。

仍然模擬出一個10w人的樣本，每個人抽中特定up（無論是W還是Wendy）的抽卡次數頻數分佈如下圖所示。

是不是感覺一兩百抽才出貨地人數肉眼可見的增多了？單吊特定up比不挑剔的出貨難度大得多。

10w樣本總體的均值為95.48抽。

採用Bootstrap算法計算的抽卡次數均值為95.44抽，9% 的置信區間為【94.24, 96.64】。將近一百抽才能抽中特定up。

仍然是那兩個問題：

第一，只抽特定up會有多少人吃井？

10w樣本總體中有3611人吃井（3.611%），考慮抽卡次數超過270的“主動吃井”的情況，吃井人數為為5129（5.129%）。

採用Bootstrap算法的吃井率為3.624％，9% 置信區間為【3.324%, 3.923%】，主動吃井率為5.141％，9% 置信區間為【4.785%, 5.497%】。出貨難度加大，吃井率增加，波動就小了，可以確定的是這種情況下吃井率在3%到4%之間，主動吃井率在5%左右。

第二，多少人能24次白嫖中一個具體的上？

10w樣本總體中白嫖到一個up的人數為15504人（15.504%），白嫖比例驟減，但仍然有一至兩成。

採用Bootstrap算法的白嫖率也為15.504％，90% 的置信區間為【14.920%, 16.088%】。

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4--我該和溫迪全都要！

最後討論最複雜的情況：如果我是W和Wendy全都要的成年人，我的抽卡次數期望是多少。

直觀來看，跟前兩章情況相比，全都要的出貨率又會進一步降低，並且至少要抽出兩次六星。

在第一次出六星的時候，全要黨不挑，只要是up就行；在拿到一個up之後，則變成只要特定的另一個up。

同樣，這裡也不推導理論概率而只做數值模擬。

依然模擬出一個10w人的樣本[6]，每個人抽中兩個up的抽卡次數頻數分佈如下圖所示。

一兩百抽才出貨的人數又一次肉眼可見地增多了。做全都要的成年人，成本有點大。

10w樣本總體的均值為131.53抽。

採用Bootstrap算法計算的抽卡次數均值為131.50抽，9% 的置信區間為【130.186, 132.823】。

依然是那兩個問題：

第一，會有多少人吃井？

10w樣本總體中有7092人吃井（7.092%），考慮抽卡次數超過270的“主動吃井”的情況，吃井人數為為9855（9.855%）。

採用Bootstrap算法的吃井率為7.100％，9% 置信區間為【6.688%,7.513%】，主動吃井率為9.855％，9% 置信區間為【9.377%, 10.333%】。出貨難度繼續加大，跟單吊一個特定up相比，吃井率接近翻倍。

第二，多少人能24次白嫖中兩個具體的上？

10w樣本總體中白嫖到一個up的人數為6674人（6.674%），白嫖比例也是進一步削減。

採用Bootstrap算法的白嫖率也為6.657％，90% 的置信區間為【6.249%, 7.065%】。

注：

[1] 需要稍微注意一下的是，在當前的保底機制下其實出六星的理論抽卡上限是99次（50+49）而非盛傳的100次。

[2] 為了好看把圖畫成了連續的折線圖，實際上由於抽卡次數只能是整數，概率密度函數應該是非連續的。

[3] 這裡做了一個簡單粗暴的近似，有很大問題。考慮兩種極端情況，一是每次十連都能中六星的天選之人，他吃井需要出的30個六星都不是up，二是一直70抽才能出六星的非洲人，他只用出4個六星就能吃井。兩種情況跟假設的8次六星都有很大出入，類似的情況導致這裡的估計是有偏的。但要完全考慮這些情況計算無偏估計非常麻煩，我沒想到好如何用相對簡單的算法來實現，所以只做如此近似計算。

[4] 要注意的是，這個次數期望看起來不多，但這個次數的分佈是右偏的，也就是說部分歐洲人用較少次數（一兩次十連）出了貨把整體期望給拉低了，實際上還有很多一兩百抽才出貨的人被歐洲人給“平均”了。

[5] 這裡我又做了一次近似，從第一張圖可以看出抽75+次才出六星的概率近乎於0，不太好模擬，於是我將第75-99次出六星的概率進行加總，均作為第75次出六星看待（實際上，75+次出六星的期望是75.87次，影響不大）。此外，數值模擬可以完美解決理論概率有偏的問題，添加一個if語句判斷是否吃井即可。

[6] 對於全都要的情況，仍然假設一個人最多抽300次就能抽齊。也就是說，在前300次中，至少能抽中兩個up中的一個，另一個up在最非的時候直接靠井兌換。根據第一種情況的結果，300抽一個up都沒有的概率僅為0.0276%，可以忽略不計（講真，真要這麼黑，建議還是棄坑）。